二部图（二分图）

什么是二分图

对于一个无向图G=(V,E)，如果将顶点V分隔为两个互不相交的子集（A,B），且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点分别属于两个不同的顶点集（i in A，j in B），则称图G为一个二分图。

二分图

二分图有一个重要的性质，即图中不含奇数环，这是二分图成立的充要条件。

二分图不含奇数环

二分图不一定是连通图。

染色法判断二分图

判断一个无向图是否是二分图，通常使用染色法。

染色法的实现思路（DFS）：
1.用1，2代表两个颜色，0代表未染色，任选一个点染成1或2

2.遍历所有点，每次将未染色的点进行dfs

3.若染色失败即break/return

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010, M = 200010;

int n, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c; // 染色
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if (!color[j]){
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false; // 如果在dfs递归的过程中出现染色失败，则整个图都不是二分图
        }
        else if (color[j] == c) return false; // 如果一条边的两端点同种颜色，则染色失败
    }

    return true; // 无染色错误则染色成功
}

int main()
{
    cin >> n >> m;

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- ){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b), add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){ // 遍历所有点，因为二分图不一定是连通图
        if (!color[i]){
            if (!dfs(i, 1)){
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }
    if (flag) printf("Yes\n");
    else printf("No");

    return 0;
}

我在写时遇到一个问题

if (!color[j]){
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;

为何不能改成

if (!color[j]){
            dfs(j, 3 - c);

这样改来，我以为在判断该点没有染色的时候，dfs只是为了染色，根本的判断染色失败在下面的一行判断中，所以这样更换没有问题，但实则不然。

这个dfs的作用不只是为了染色，也是利用dfs的返回值，判断在递归过程中是否产生了染色错误。而不加这个判断，只能判断u是否处于奇数环中，而u不一定处于奇数环，所以有可能判断错误。

二分图的最大匹配（匈牙利算法）

匹配：在图论中一个匹配是指一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。

最大匹配，一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配称为最大匹配。

匈牙利算法的过程

1.从左集合依次找右集合的点，如果有右集合的点还没有被匹配，就把它们连上一条边。

2.如果左集合中某一点找到的右集合中一点已经匹配过，那么就从该右集合点反找它匹配的左集合点，并找该左集合点有没有别的右集合点可以连，如果有，则连接这个右集合点，原右集合点与新左集合点相连。

匹配过程

虽然二分图是无向图，但匈牙利算法只需要从左边集合找右边集合，因此我们只存一条边也可以。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510, M = 100010;

int n1, n2, m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int match[N];
bool st[N];

void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]){
        int j = e[i];
        if (!st[j]){
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j])){
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);

    while (m -- ){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n1; i ++ ){
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res ++;
    }
    cout << res << endl;

    return 0;
}